题目内容
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[主观题]
数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ叫作幂零的,如果存在一个正整数m使σm=θ。证明:(i)σ是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零;(ii)如果一个幂零变换σ可以对角化,那么σ一定是零变换。
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设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令∈F是σ的两两不同的本征值,Vλ是属于本征值的本征子空间。证明,子空间的和是直和,并在σ之下不变。
n维欧氏空间V的一个线性变换σ说是反对称的,如果对于任意向量a,β∈V。
证明:
(i)反对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是反对称的实矩阵(满足条件AT=-A的矩阵叫作反对称矩阵);
(ii)反之,如果线性变换σ关于V的某一规范正交基的矩阵是反对称的,那么σ一定是反对称线性变换;
(iii)反对称实矩阵的特征根或都是零,或者是纯虚数。
设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明
设V是复数域上的n维线性空间,而线性变换在基ε1,ε2,...,εn下的矩阵是一若尔当块。证明:
1)V中包含ε1的-子空间只有V自身;
2)V中任一非零-子空间都包含εn;
3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。