设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明
设{α1,α2,···,αn}和{β1,β2,···,βn}是n维欧氏空间V的两个规范正交基。
(i)证明:存在V的一个正交变换σ,使σ(αi)=βi,i=1,2,...,n;
(ii)如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1,那么τ(α2),···,τ(αn)所生成的子空间与由β2,···,βn所生成的子空间重合。
设G是一个有n个顶点的有向图,从顶点i发出的边的最小费用记为min(i).
(1)证明图G的所有前缀为x[1,i]的旅行售货员问路的费用至少为:
式中,a(u,v)是边(u,v)的费用.
(2)利用上述结论设计一个高效的上界函数,重写旅行售货员问题的回溯法,并与主教材中的算法进行比较.
设ε1,ε2,...,εn是线性空间V的一组基,是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关。
设α1,α2,…,αs都是n维列向量V=L(α1,α2,…,αs),证明:向量组α1,α2,…,αs的极大无关组是V的基,从而dimV=r{α1,α2,…,αs}。
设V为数域P上的n维线性空间,且V=L(α1,α2,...αn),
(1)证明{α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αn}是V的一组基:
(2)若a∈V在基{α1,α2,...αn}下的坐标为(n,n-1,...,2,1),求α在基{α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αn}下的坐标
1}i≠j时,Wi≠Wj;
2)仍在这五个子空间之中:
3)
4)W2与W4,W3与W4之间无包含关系,
设α1,α2,...,αn与β1,β2,...,βn都是V的基,试求存在α∈V,α≠0,使得crd(α;α1,α2,...,αn)=crd(α;β1,β2,...,βn)的充分必要条件.