在教材11.1节曾介绍的倒立摆系统重绘于图11-14.图中,摆长为L,不计长杆质量t,末端小球质量为m,

θ(1)是偏离垂线之角度,重力加速度为g,a(t)是小车加速度,x(t)表示扰动(如风吹)引起的角加速度.质沿垂直于杆方向的加速度应等于沿此方向施加之各种加速度之和,包括重力加速度、小草加速度和扰动加速度,按此要求建立的系统动态方程如下

此模型为非线性微分方程,在摆处于垂直位置附近,即θ(t)很小的情况下,取如下近似:,得到如下简化的线性方程

(1)设x(t)为激励信号,θ(t)是响应信号,若小车不动,即a(t)=0,写出系统函数表达式,并讨论系统的稳定性.

(2)研究适当移动小车对稳定性的影响.假定随θ(t)之变化按比例反馈作用使小车产生加速度,即a(t)=Kθ(t),K为比例系数.画出引入反馈后的系统方框图,并求反馈系统的系统函数.讨论系统的稳定性(分为Kg三种情况).

(3)改用比例-微分(PD)反馈控制,即

其中K₁和K₂都为正实系数.写出此反馈系统的系统函数,讨论为使系统稳定,K₁,K₂应满足何种约束条件？