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设L是平面上的简单闭曲线,它所包围的区域D的面积为S,其中是平面取定方向上的单位向量。证明其
设L是平面上的简单闭曲线,它所包围的区域D的面积为S,其中
是平面取定方向上的单位向量。证明
其中L的定向与平面的定向符合右手定则。
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设L是平面上的简单闭曲线,它所包围的区域D的面积为S,其中
是平面取定方向上的单位向量。证明
其中L的定向与平面的定向符合右手定则。
设一平面薄板(不计其厚度),它在xy平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域D。如果该薄板分布有面密度为的电荷,且
在D上连续,试用二重积分表示该薄板上的全部电荷。
设光滑闭曲线L在光滑曲面S上,S的方程为z=f(x,y),曲线L在XY面上的投影曲线为l,函数P(x,y,z)在L上连续,证明
设u(x,y),v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数,并设
证明:
其中σ为闭曲线l所围的平面区域,为沿l外法线方向导数
设f(z)是单连通区域D内除z0以外解析的函数且,则对于任一属于D而不通过z0的简单光滑闭曲线C,恒有
计算下列三重积分:
(1),其中Ω是两个球:x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rr(R>0)的公共部分;
(2),其中Ω是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域;
(3),其中Ω是由xOy平面上曲线y2=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域.
证明:设φ(ζ)在一条简单曲线C上连续,这里C不一定是闭的,那么在不含C上的点的任何区域D内,函数
解析,并且有任意阶导数:
确定φ(z)的积分称为柯西型积分,在这里即使C是闭的,沿C的积分也不一定是按反时针方向取的。
设f(z)在单连通区域D内解析,且不为零,C为D内任何一条简单光滑闭曲线,问积分是否为零?为什么?
设u(x,y)、v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数,分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线.证明:
其中、
世分别是u、v沿L的外法线向量n的方向导数,符号
称维拉普拉斯算子.