设R与R'是环,f:R→R'是一个同态映射。证明:
(i)Imf=f(R)=(f(a)|a∈R}是R'的一个子环;
(i)I=Kerf={a∈R|f(a)=0}是R的一个子环,并且对于任意r∈R,a∈I,都有ra∈I。
如果R与R'都有单位元。能不能断定f(1R)是R'的单位元1R?当f是满射时,f(1R)是不是R'的单位元?
设f是线性空间V1到V2的同态。若W1是V1的子空间,则f(W1)={f(α)|α∈W1}为V2的子空间,若W2是V2的子空间,则{α∈V1|f(α)∈W2}(此集合常记为f-1(W))是V1的包含kerf的子空间。
设f,g都是的同态,并且*与*'运算均满足交换律和结合律,证明如下定义的函数h;S→S':
h(x)-f(x)*'g(x)
是<S✳>到<S',✳'>的同态.
设V是数域F上一个有限维内积空间,配备了一个内积f,证明以下两条件等价:
(ii)f关于V的任意基的格拉姆矩阵非奇异。
满足上述条件的内积叫作非退化的。
设f,g都是<S,*>到的同态,并且*与*'运算均满足交换律和结合律,证明如下定义的函数h;s→s'
h(x)=f(x)*'g(x)的同态.
设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令∈F是σ的两两不同的本征值,Vλ是属于本征值的本征子空间。证明,子空间的和是直和,并在σ之下不变。