题目内容
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[主观题]
令S是数域F上向量空间V的一些线性变换所成的集合,V的一个子空间W如果在S中每一线性变换之下不变,那么就说W是S的一个不变子空间。如果S在V中没有非平凡的不变子空间,则是不可约的。设S不可约,而φ是V的一个线性变换,它与S中每一线性变换可交换。证明φ或者是零变换,或者是可逆变换。
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设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令∈F是σ的两两不同的本征值,Vλ是属于本征值的本征子空间。证明,子空间的和是直和,并在σ之下不变。
令V是实数域R上一个三维向量空间,σ是V的一个线性变换。它关于V的某一个基的矩阵是
(i)求出σ的最小多项式p(x),并把p(x)在R[x]内分解为两个最高次项系数是1的不可约多项式p1(x)与p2(x)的乘积;
(ii)令Wi={ξ∈V|pi(σ)ξ=0},i=1,2。证明,Wi是σ的不变子空间,并且V=W1⊕W2;
(iii)在每一子空间Wi中选取一个基,凑成V的一个基,使得σ关于这个基的矩阵里只出现三个非零元素。
令Fn[x]是某一数域F上全体次数≤n的多项式连同零多项式所组成的向量空间。令:。求出σ的最小多项式。
设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明