题目内容
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[主观题]
设V是数域F上一个有限维向量空间。证明,对于V的线性变换σ来说,下列三个条件是等价的:(i)σ是满射;(ii)Ker(σ)={0};(iii)σ非奇异。当V不是有限维时,(i),(ii)是否等价?
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设V是数域F上一个有限维内积空间,配备了一个内积f,证明以下两条件等价:
(ii)f关于V的任意基的格拉姆矩阵非奇异。
满足上述条件的内积叫作非退化的。
设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令∈F是σ的两两不同的本征值,Vλ是属于本征值的本征子空间。证明,子空间的和是直和,并在σ之下不变。
设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明