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[主观题]
设二次型已知λ1=1是f对应矩阵的一个特征值,试确定参数a,并求二次型的标准形
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设二次型
(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;
(2)若二次型f的规范形为
求a的值。
设二次型
，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12。
(1)求a，b的值;
(2)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
设{α1，α2，···，αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明
1
，ξ2，…，ξn-r。证明：η0，η0+ξ1，η0+ξ2，…，η0+ξn-r是方程组Ax=b的n-r+1个线性无关的解。
设f(x1，x2，···，xn)=X'AX是一实二次型，λ1，λ2，···，λn是A的特征多项式的根，且λ1≤λ2≤···≤λn。证明：对任一X∈Rn，有
设A是复数域C上一个n阶矩阵，λ1，λ2，···，λn是A的全部特征根(重根按重数计算)。
(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f(λ1)，f(λ2)，···，f(λn)是f(A)的全部特征根;
(ii)如果A可逆，那么λi≠0，i=1，2，...，n，并且
是A-1的全部特征根。
分别作下列可逆矩阵变换，求新的二次型。
，证明：f(x1，x2，...，xn)的秩等于矩阵。
