设平面薄片所占的闭区域D由螺线p=2θ上一段弧(0≤θ≤)与直线所围成,它的面密度为u(x,y)=x2
设平面薄片所占的闭区域D由螺线p=2θ上一段弧(0≤θ≤)与直线所围成,它的面密度为u(x,y)=x2+y2.求这薄片的质量.
设平面薄片所占的闭区域D由螺线p=2θ上一段弧(0≤θ≤)与直线所围成,它的面密度为u(x,y)=x2+y2.求这薄片的质量.
设一平面薄板(不计其厚度),它在xy平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域D。如果该薄板分布有面密度为的电荷,且在D上连续,试用二重积分表示该薄板上的全部电荷。
设D是平面有界闭区域,f(x,y)在D上连续,证明:
若f(x,y)在D上非负,且则在D上f(x,y)=0.
飞机不知道的某一方向以直线形式逃去,艇速20n mile/h。飞机以速度40n mile/h按照待定的航线搜索潜艇,当且仅当飞到艇的正上方时才可发现它。
(1)以O为原点建立极坐标系(r,θ),A点位于θ=0的向径上,见下图。分析图中由P,Q,R组成的小三角形,证明在有限时间内飞机一定可以搜索到潜艇的航线,是先从A点沿直线飞到某点P0,再从P0沿一条对数螺线飞行一周,而P0是一个圆周上的任一点。给出对数螺线的表达式,并画出一条航线的示意图。
(2)为了使整条航线是光滑的,直线段应与对数螺线在P0点相切,找出这条光滑的航线。
(3)在所有一定可以发现潜艇的航线中哪一条航线最短,长度是多少?光滑航线的长度又是多少?
设平面区域D由山线y=1/x及白线y=0,x=1x=e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D.上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少?
计算下列三重积分:
(1),其中Ω是两个球:x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rr(R>0)的公共部分;
(2),其中Ω是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域;
(3),其中Ω是由xOy平面上曲线y2=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域.
设L是平面上的简单闭曲线,它所包围的区域D的面积为S,其中是平面取定方向上的单位向量。证明
其中L的定向与平面的定向符合右手定则。
设u(x,y),v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数,并设
证明:
其中σ为闭曲线l所围的平面区域,为沿l外法线方向导数